无穷

还是悖论

前几天，16岁的表妹来数模君家玩，发现超模君沉浸在数学中不能自拔，于是就很好奇地问，表哥，你是学数学的，那么应该知道很多数学知识吧？

哎哟喂，这不正是超模君擅长的嘛，于是酷酷地回了她，当然，你想知道什么？

表妹十分高兴：“恩...我想想...啊，要不讲下集合论？！之前课堂上老师教集合的时候有提到过，我蛮好奇这个的。”

漂亮表妹的要求，哪敢不从，那就讲讲集合论的那些事儿吧。

说到集合论就得提起无穷，从萌芽到完善，集合论一直对无穷不离不弃。也正因如此，无穷的发展对于集合论而言是至关重要的。

两千多年前，古希腊的学者率先注意到生活中的无穷问题，并主动开始进行研究。

公元前5世纪，芝诺针对老师巴门尼德的“存在”不动、是一学说提出了著名的芝诺悖论，其中二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论均与无穷有关。但遗憾的是芝诺并没有在悖论中明确使用无穷集合的概念。

随后，无穷出现了两种方式，一种是无穷过程，也就是现在的潜无穷，另一种是无穷整体，现在的实无穷。但是，这两种方式从出现起都没有被分离过，直到亚里士多德的出现。

亚里士多德提出了区分两种无穷方式的想法，并指出实际上只存在潜无穷，而无穷集合是不存在的，比如正整数、地球的年龄等就是潜无穷。但是问题来了，当时的亚里士多德德高望重，因此后人皆选择迈向潜无穷，以至于阻碍了无穷集合的研究。

公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯为了解释在研究直径分圆中发现的矛盾问题：直径可将一个圆分成两个半圆，但是直径是无穷多的，所以必须有两倍无穷多的半圆，指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆。

也就是说，在普罗克拉斯看来，无穷只能是一种概念，而不是一个数，而无穷中存在的对应关系也被他直接忽略掉。

到了中世纪，越来越多人注意到部分和整体存在一一对应关系，伽利略就是其中一位。因为两个不等长线段上的点可以一一对应，伽利略意识到无穷大是有不同的“数量级”，但是他认为所有无穷大量都一样，就这样错过了成名的机会。

到了十七世纪，数学家引进了无穷小量运算，也就是现在的微积分，让无穷大也能跻身于数学当中。

无穷大的到来给数学带来了前所未有的繁荣和进步，正所谓树大招风，因为基础及其合法性无法确认一直被质疑，而高斯也在此时“落井下石”。作为一个潜无穷论者，高斯认为无穷只不过是一种谈话方式，代表一种极限（潜无穷）。

尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。

说到解决无穷，在说到康托尔之前不得不提的就是这位先驱——波尔查诺。

波尔查诺是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他向当时的数学家强调了两个集合等价的概念，也就是所谓的一一对应概念，紧接着他还搞了个超限数，提出了悖论，为康托尔创立集合论奠定了基础。

无穷何其有幸，在这个时代它受到了许多数学巨人的密切







































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